Annealed Deviations of Random Walk in Random Scenery

Let (Zn)n∈N be a d-dimensional random walk in random scenery, i.e., Zn = ∑n−1 k=0 Y (Sk) with (Sk)k∈N0 a random walk in Z d and (Y (z))z∈Zd an i.i.d. scenery, independent of the walk. The walker’s steps have mean zero and some finite exponential moments. We identify the speed and the rate of the logarithmic decay of P( 1 nZn > bn) for various choices of sequences (bn)n in [1,∞). Depending on (bn)n and the upper tails of the scenery, we identify different regimes for the speed of decay and different variational formulas for the rate functions. In contrast to recent work [AC03] by A. Asselah and F. Castell, we consider sceneries unbounded to infinity. It turns out that there are interesting connections to large deviation properties of self-intersections of the walk, which have been studied recently by X. Chen [Ch04]. Résumé : Soit (Zn)n∈N une marche aléatoire en paysage aléatoire sur Zd ; il s’agit du processus défini par Zn = ∑n−1 k=0 Y (Sk), où (Sk)k∈N0 est une marche aléatoire à valeurs dans Zd, et le paysage aléatoire (Y (z))z∈Zd est une famille de variables aléatoires i.i.d. independante de la marche. On suppose que S1 est centrée et admet certains moments exponentiels finis. Nous identifions la vitesse et la fonction de taux de P( 1 nZn > bn), pour diverses suites (bn)n à valeurs dans [1,∞[. Selon le comportement de (bn)n et de la queue de distribution du paysage aléatoire, nous découvrons différents régimes ainsi que différentes formules variationnelles pour les fonctions de taux. Contrairement au travail récent de A. Asselah and F. Castell [AC03], nous étudions le cas où le paysage aléatoire n’est pas borné. Finalement, nous observons des liens intéressants avec certaines propriétés d’auto-intersection de la marche (Sk)k∈N0 , récemment étudiées par X. Chen [Ch04]. MSC 2000. 60K37, 60F10, 60J55.